La matemática como magia

La geometría sagrada 

El ADN como lenguaje de Dios, la inteligencia genética cósmica bioquímica 

Conjuro de la naturaleza 

Los ritmos y cantidades 

El cálculo 

Los milagros de la ciencia

Magia como ciencia no occidental 

Los modelos cuantitativos

Aritmética: numeros

Pitágoras 

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Newton 

Trigonométria: proporción y calculo 

Geometría: medición de la tierra 

Leyes, modelos y mediciones en la filosofia natural de principios matemáticos. 

Hegel: el espíritu absoluto de la conciencia racional 

Compe: estadios del espíritu y metafísica del positivismo. Sociologia y psicología 

Historiografias de matemática: de la etimología a la arqueología 

Cábala y numerologías hebreas

Los números árabes provienen de la india, fueron importados por Venecia gracias a la ruta de la Seda 

Historia de la trigonometría

Tablilla babilonia Plimpton 322.~1900 a. C.

La historia de la trigonometría y de las funciones trigonométricas podría extenderse por más de 3000 años. Los babilonios determinaron aproximaciones de medidas de ángulos y de longitudes de los lados de los triángulos rectángulos. Varias tablas grabadas sobre arcilla seca lo testimonian. Así, por ejemplo, una tablilla babilónica en escritura cuneiforme, denominada Plimpton 322 (en torno al 1900 a. C.) muestra quince ternas pitagóricas y una columna de números que puede ser interpretada como una tabla de funciones trigonométricas;¹​ sin embargo, existen varios debates sobre si, en realidad, se trata de una tabla trigonométrica.

El origen de la trigonometría comienza con los babilonios y los egipcios. Estos establecieron la medida de los ángulos en grados, minutos y segundos.

En los tiempos de la Grecia clásica, en el siglo II a. C. el astrónomo Hiparco de Nicea construyó una tabla de cuerdas para resolver triángulos. Comenzó con un ángulo de 71° y yendo hasta 180° con incrementos de 71°, la tabla daba la longitud de la cuerda delimitada por los lados del ángulo central, dado que corta a una circunferencia de radio r. No se sabe el valor que Hiparco utilizó para r.

Al mismo tiempo, los astrónomos de la India habían desarrollado también un sistema trigonométrico basado en la función seno en vez de cuerdas como los griegos. Esta función seno, era la longitud del lado opuesto a un ángulo en un triángulo rectángulo de hipotenusa dada. Los matemáticos hindúes utilizaron diversos valores para ésta en sus tablas.

También descubrieron y demostraron teoremas fundamentales de, la trigonometría, tanto para triángulos planos como esféricos. Los matemáticos sugirieron el uso del valor r = 1 en vez de r = 60, y esto dio lugar a los valores modernos de las funciones trigonométricas.

El Occidente latino se familiarizó con la trigonometría árabe a través de traducciones de libros de astronomía arábigos, que comenzaron a aparecer en el siglo XII. El primer trabajo importante en esta materia en Europa fue escrito por el matemático y astrónomo alemán Johann Müller Königsberg, llamado Regiomontano.

A principios del siglo XVII, el matemático escocés John Napier descubrió los logaritmos y, gracias a esto, los cálculos trigonométricos recibieron un gran empuje.

A mediados del siglo XVII, los científicos Isaac Newton y Gottfried Wilhelm Leibniz desarrollaron el cálculo diferencial e integral. Uno de los fundamentos del trabajo de Newton fue la representación de muchas funciones matemáticas utilizando series infinitas de potencias de la variable x. Newton encontró la serie para sen x y series similares para cos x y tg x. Con la invención del Cálculo, las funciones trigonométricas fueron incorporadas al Análisis, donde todavía hoy desempeñan un importante papel tanto en las matemáticas puras como en las aplicadas.

Por último, en el siglo XVIII, el matemático suizo Leonhard Euler demostró que las propiedades de la trigonometría eran producto de la aritmética de los números complejos y, además, definió las funciones trigonométricas utilizando expresiones con exponenciales de números complejos.

Etimología

La palabra "seno" deriva del término en latín, sinus, de una mala traducción (vía el árabe de la palabra en sánscrito, jiva o jya).²​ Aryabhata utilizó el término ardha-jiva ("media-cuerda"), que fue acortado a jiva y, luego, transliterado por los árabes como jiba (جب). Traductores europeos como Roberto de Chester y Gerardo de Cremona en el siglo XII toledano confundieron jiba por jaib (جب), probablemente debido a que jiba (جب) y jaib (جب) se escriben igual en la escritura árabe (este sistema de escritura utiliza acentos en lugar de vocales y, en algunos formatos, los acentos no son escritos para facilitar la escritura, por lo que si los lectores no están familiarizados con el idioma pueden confundir palabras con las mismas letras, pero con diferente fonética). Las palabras "minuto" "segundo" provienen de las frases latinas partes minutae primae y partes minutae secundae, que pueden ser burdamente traducidas como "primeras pequeñas partes" y "segundas pequeñas partes".³

Referencias

1. ↑ Joseph, George G. (200). The Crest of the Peacock: Non-European Roots of Mathematics. Londres: Penguin Books, 2.ª edición, págs. 383-384, ISBN 0-691-00659-8.
2. ↑ O'Connor (1996).
3. ↑ Boyer, Carl Benjamin título= (1991). «Greek Trigonometry and Mensuration». pp. 166-167. «Debe recordarse que desde los días de Hiparco hasta los tiempos modernos, no existía tal cosa como los "ratios" trigonométricos. Los griegos y, después de ellos, los hindúes y los árabes utilizaron "líneas" trigonométricas. Al principio, estas tomaron la forma de cuerdas en un círculo y se hizo obligatorio hasta Claudio Ptolomeo asociar valores numéricos (o aproximaciones) con las cuerdas. [...] No es improbable que la medida de 260 grados procediera de la astronomía, donde el zodiaco había sido dividido en doce "signos" o 36 "decanos". Un ciclo de las temporadas de 360 días podía fácilmente hacerse coincidir con el sistema de los signos zodiacales y decanos al subdividir cada signo en treinta partes y cada decano en diez partes. Nuestro sistema común de medición de ángulos puede provenir de esta correspondencia. Además, dado que el sistema babilónico de posición para fracciones fue obviamente superior a las fracciones de unidad egipcias y a las fracciones comunes griegas, era natural para Claudio Ptolomeo subdividir sus grados en sesenta partes minutae primae, cada una de estas últimas en sesenta partes minutae secundae y así sucesivamente. Los traductores han sostenido que las frases latinas usadas en esta conexión han dado origen a nuestras palabras "minuto" y "segundo". Fue sin duda el sistema sexagesimal el que llevó a Ptolomeo a subdividir el diámetro de su círculo trigonométrico en 120 partes, cada una de ellas a su vez subdividida en sesenta minutos y cada minuto en sesenta segundos.»

Bibliografía

• Boyer, Carl Benjamin (1991). A "History of Mathematics" (2da. edición). John Wiley & Sons, Inc. ISBN 0471543977.
• Gauchet, L. (1917). Note Sur La Trigonométrie Sphérique de Kouo Cheou-King.
• Joseph, George G. (2000). The Crest of the Peacock: Non-European Roots of Mathematics: Londres: Penguin Books, 2.ª edic., ISBN 0-691-00659-8.
• Katz, Victor J. (2007). The Mathematics of Egypt, Mesopotamia, China, India, and Islam: A Sourcebook. Princeton: Princeton University Press. ISBN 0-691-11485-4.
• Needham, Joseph (1986). Science and Civilization in China: Volume 3, Mathematics and the Sciences of the Heavens and the Earth. Taipéi: Caves Books, Ltd.

Tabla de senos de Āryabhaṭa

Primera tabla de senos conocida, elaborada en la India por el matemático Āryabhaṭa

El Āryabhaṭīya, un tratado astronómico compuesto por el matemático y astrónomo indio del siglo V Aryabhata (476-550), contiene una lista de valores relacionados con el cálculo de las semicuerdas de cierto conjunto de arcos de un círculo. No es una tabla en el sentido moderno de una tabla matemática, es decir, no es un conjunto de números dispuestos en filas y columnas.^[1]​^[2]​

Arco, cuerda y semicuerda del ángulo 2A en una circunferencia. La semicuerda de 2A coincide con el seno de A

La tabla de Āryabhaṭa tampoco es un conjunto de valores de la función trigonométrica seno en un sentido convencional; es una tabla de las primeras diferencias de los valores de los senos trigonométricos expresados en minutos de arco, y debido a esto, la tabla también se conoce como la tabla de diferencias senoidales de Āryabhaṭa.^[3]​^[4]​

Fue la primera tabla de senos jamás construida en la historia de las matemáticas.^[5]​ Las tablas ahora perdidas de Hiparco (c.190-c.120 a. C.) y Menelao (c.70-140); y las de Ptolomeo (c. 90-c.168) eran todas tablas de cuerdas y no de medias cuerdas, equiparables al seno de un arco dado. La tabla de Āryabhaṭa permaneció como la tabla de senos de referencia en la antigua India, realizándose a lo largo de casi más de mil años numerosos intentos para superar su precisión. Estos esfuerzos culminaron finalmente con el descubrimiento de las expansiones en series de potencias (las series de Madhava) de las funciones seno y coseno, realizado por Madhava de Sangamagrama (c.1350 - c.1425), el fundador de la escuela de astronomía y matemáticas de Kerala; y con el cálculo consiguiente de la tabla de senos de Madhava, con valores precisos de siete u ocho decimales.

Algunos historiadores de las matemáticas han argumentado que la tabla de senos que figura en el Āryabhaṭiya fue una adaptación de tablas anteriores construidas por matemáticos y astrónomos de la antigua Grecia.^[6]​ David Pingree, uno de los principales historiadores de las ciencias exactas en la antigüedad, fue un exponente de tal punto de vista. Suponiendo esta hipótesis, G. J. Toomer^[7]​^[8]​^[9]​ escribió: "Casi no existe documentación para determinar la llegada más temprana de los modelos astronómicos griegos a la India, o para el caso, cómo se habrían visto esos modelos. Por lo tanto, es muy difícil determinar en qué medida lo que nos ha llegado representa el conocimiento transmitido y lo que es original de los científicos indios ... La verdad es probablemente una mezcla enredada de ambos".^[10]​

Índice

La tabla

La tabla original

El párrafo del Āryabhaṭiya que describe la tabla del seno se reproduce a continuación:

 मखि भखि फखि धखि णखि ञखि ङखि हस्झ स्ककि किष्ग श्घकि किघ्व |
 घ्लकि किग्र हक्य धकि किच स्ग झश ङ्व क्ल प्त फ छ कला-अर्ध-ज्यास् ||

En notación moderna

Los valores codificados en el verso sánscrito de Āryabhaṭa se pueden decodificar utilizando el esquema numérico explicado en el Āryabhaṭīya, y los números decodificados se enumeran en la tabla que figura a continuación. En la tabla, las medidas de ángulo relevantes para la tabla seno de Āryabhaṭa se enumeran en la segunda columna. La tercera columna contiene la lista de los números contenidos en el verso sánscrito dado anteriormente en la escritura Devanagari. Para comodidad de los usuarios que no pueden leer Devanagari, estas palabras numerales se reproducen en la cuarta columna, con la transliteración ISO 15919. La siguiente columna contiene estos números en el sistema arábigo. Los números de Āryabhaṭa son las primeras diferencias de los valores de los senos. El valor correspondiente del seno (o más precisamente, de jya) puede obtenerse sumando las diferencias hasta esa diferencia. Así, el valor de jya correspondiente a 18° 45 ′ es la suma 225 + 224 + 222 + 219 + 215 = 1105. Para evaluar la precisión de los cálculos de Āryabhaṭa, los valores modernos de jya se dan en la última columna de la tabla.

En la tradición matemática india, el seno (o jya) de un ángulo no es una relación de números. Es la longitud de un cierto segmento de línea, una cierta semicuerda. El radio del círculo base es un parámetro básico para la construcción de tales tablas. Históricamente, se han construido varias tablas utilizando diferentes valores para este parámetro. Abryabhaṭa eligió el número 3438 como el valor del radio del círculo base para el cálculo de su tabla senoidal. La razón de la elección de este parámetro es la idea de medir la circunferencia de un círculo en medidas de ángulo. En los cálculos astronómicos, las distancias se miden en grados, minutos, segundos, etc. En esta medida, la circunferencia de un círculo es 360° = (60 × 360) minutos = 21600 minutos. El radio del círculo, cuya medida es de 21600 minutos, es de 21600/2π minutos. Calculando este cociente usando el valor de π = 3.1416 conocido por Aryabhata, se obtiene el radio del círculo como 3438 minutos aproximadamente. La tabla de senos de Āryabhaṭa se basa en este valor para el radio del círculo base. Todavía no se ha establecido quién fue el primero en usar este valor del radio base, pero el Aryabhatiya es el texto más antiguo conocido que contiene una referencia a esta constante básica.^[11]​

Sl. No	Ángulo (A) (en grados, minutos de arco)	Valor en la notación numérica de Āryabhaṭa (en Devanagari)	Valor en la notación numérica de Āryabhaṭa (en la transliteración ISO 15919)	Valor en números arábigos	Valor de jya (A) según Āryabhaṭa	Valor moderno de jya (A) (3438 × seno (A))
1	03°   45′	मखि	makhi	225	225′	224.8560
2	07°   30′	भखि	bhakhi	224	449′	448.7490
3	11°   15′	फखि	phakhi	222	671′	670.7205
4	15°   00′	धखि	dhakhi	219	890′	889.8199
5	18°   45′	णखि	ṇakhi	215	1105′	1105.1089
6	22°   30′	ञखि	ñakhi	210	1315′	1315.6656
7	26°   15′	ङखि	ṅakhi	205	1520′	1520.5885
8	30°   00′	हस्झ	hasjha	199	1719′	1719.0000
9	33°   45′	स्ककि	skaki	191	1910′	1910.0505
10	37°   30′	किष्ग	kiṣga	183	2093′	2092.9218
11	41°   15′	श्घकि	śghaki	174	2267′	2266.8309
12	45°   00′	किघ्व	kighva	164	2431′	2431.0331
13	48°   45′	घ्लकि	ghlaki	154	2585′	2584.8253
14	52°   30′	किग्र	kigra	143	2728′	2727.5488
15	56°   15′	हक्य	hakya	131	2859′	2858.5925
16	60°   00′	धकि	dhaki	119	2978′	2977.3953
17	63°   45′	किच	kica	106	3084′	3083.4485
18	67°   30′	स्ग	sga	93	3177′	3176.2978
19	71°   15′	झश	jhaśa	79	3256′	3255.5458
20	75°   00′	ङ्व	ṅva	65	3321′	3320.8530
21	78°   45′	क्ल	kla	51	3372′	3371.9398
22	82°   30′	प्त	pta	37	3409′	3408.5874
23	86°   15′	फ	pha	22	3431′	3430.6390
24	90°   00′	छ	cha	7	3438′	3438.0000

Método de cálculo de Āryabhaṭa

La segunda sección de Āryabhaṭiya titulada Ganitapādd a contiene una estrofa que indica un método para el cálculo de la tabla sinusoidal. Hay varias ambigüedades en la interpretación correcta del significado de este versículo. Por ejemplo, la siguiente es una traducción del verso dado por Katz en donde las palabras entre corchetes son inserciones del traductor y no traducciones del texto del verso.^[11]​

• "Cuando la segunda media [cuerda] particionada es menor que la primera media cuerda, que es [aproximadamente igual al] arco [correspondiente], en cierta cantidad, las [diferencias del seno] restantes son menores [que las anteriores] cada una por esa cantidad de esto dividido por la primera media cuerda".

Esto puede referirse al hecho de que la segunda derivada de la función seno es igual al negativo de la función seno.

Jyā, koti-jyā y utkrama-jyā - Wikipedia, la enciclopedia libre

Jyā, koti-jyā y utkrama-jyā son tres funciones trigonométricas introducidas por matemáticos y astrónomos indios. El primer tratado indio conocido que contiene referencias a estas funciones es el Surya Siddhanta.^[1]​ Son funciones de arcos de círculos y no funciones de ángulos propiamente dichas. Jyā y kotijyā están estrechamente relacionados con las funciones trigonométricas modernas del seno y el coseno. De hecho, los orígenes de los términos modernos de "seno" y "coseno" se remontan a las palabras sánscritas jyā y kotijyā.

Índice

Definiciones

Diagrama moderno para jyā y kojyā

Supóngase que el 'AB' denota un arco, cuyos dos extremos son los puntos A y B de una circunferencia con centro en O. Si se traza un segmento BM desde B perpendicular a OA, entonces:

• jyā del arco AB = BM
• koti-jyā del arco AB = OM
• utkrama-jyā del arco AB = MA

Si el radio del círculo es R y la longitud del arco AB es s, el ángulo subtendido por el arco AB desde O medido en radianes es θ = s/R. Las tres funciones indias están relacionadas con las funciones trigonométricas modernas de la siguiente manera:

• jyā (arco AB) = R sen (s/R)
• koti-jyā (arco AB) = R cos (s/R)
• utkrama-jyā (arco AB) = R (1 - cos (s/R )) = R verseno (s/R)

Terminología

Significado literal de jyā

Significado técnico de jyā y kojyā

Un arco de círculo es como el arco de una edificación, y se denomina dhanu o cāpa, que en sánscrito significa "arco". La línea recta que une los dos extremos de un arco de círculo es como la cuerda de un arco (el arma utilizada para lanzar flechas), y esta línea es una cuerda de la circunferencia. Esta cuerda se llama un Jya que, en sánscrito significa "una cuerda de arco", presumiblemente traducido del término χορδή utilizado por Hiparco con el mismo significado. La palabra jīvá también se usa como sinónimo de jyā en la literatura geométrica.^[2]​ En algún momento, los astrónomos y matemáticos indios se dieron cuenta de que los cálculos serían menos complicados usando las mitades de las cuerdas en lugar de las cuerdas completas, y asociaron las semicuerdas a las mitades de los arcos.^[1]​^[3]​ Las medias cuerdas se llamaban ardha-jyā s o jyā-ardha s. Estos términos fueron acortados nuevamente a jyā, al omitir el calificador ardha que significa "la mitad de".

La palabra sánscrita koṭi tiene el significado de "punto, cúspide" y específicamente de "extremo curvo de un arco". En trigonometría, llegó a denotar "el complemento de un arco a 90°". Así, koṭi-jyā es "la jyā del arco complementario". En los tratados indios, especialmente en los comentarios, koṭi-jyā a menudo se abrevia como kojyā. El término koṭi también denota "el lado de un triángulo rectángulo". Así, koṭi-jyā también podría significar el lado de un triángulo rectángulo, uno de cuyos lados es el jyā.^[1]​

Utkrama significa "invertido", por lo tanto, utkrama-jyā significa "cuerda invertida". Los valores tabulares de utkrama-jyā se derivan de los valores tabulares de jyā restando los elementos del radio en el orden inverso. Esto es realmente la flecha entre el arco y la cuerda del arco y, por lo tanto, también se le ha llamado bāṇa, iṣu o śara, que significa "flecha".^[1]​

Un arco de un círculo que subtiende un ángulo de 90° en el centro se llama vritta-pāda (un cuadrante de un círculo). Cada signo zodiacal define un arco de 30° y tres signos zodiacales consecutivos definen un vritta-pāda. El jyā de un vritta-pāda es el radio del círculo. Los astrónomos indios acuñaron el término tri-jyā para denotar el radio del círculo base, el término tri-jyā es indicativo de "el jyā de tres signos". El radio también se llama vyāsārdha, viṣkambhārdha, vistarārdha, etc., todos significando "semi-diámetro".^[1]​

Según una convención, las funciones jyā y koti-jyā se denotan respectivamente como "Rsin" y "Rcos" tratadas como palabras sueltas.^[1]​ Otros denotan jyā y koti-jyā respectivamente por "Sin" y "Cos" (las primeras letras son mayúsculas en contraposición a las primeras letras pequeñas en funciones seno y coseno ordinarias).^[3]​

De jyā a seno

Los orígenes del término moderno seno se remontan a la palabra sánscrita jyā,^[4]​^[5]​ o más específicamente a su sinónimo jīva. Este término fue adoptado en las matemáticas islámicas medievales, transcrito al árabe como jība ( جيب ). Dado que el árabe se escribe sin vocales cortas, y como préstamo, la vocal larga se denota aquí con yā this. Esto se interpretó como el jayb homográfico, que significa "seno". El traductor latino del siglo XII del texto usaba el equivalente latino para "seno", sinus.^[6]​ Cuando jyā se convirtió en seno, por analogía kojyā se convirtió en co-seno.

Matemática griega 

La matemática griega, o matemática helénica, es la matemática escrita en griego desde el 600 a. C. hasta el 300 d. C.^[1]​ Los matemáticos griegos vivían en ciudades dispersas a lo largo del Mediterráneo Oriental, desde Italia hasta el Norte de África, pero estaban unidas por un lenguaje y una cultura comunes. Las matemáticas griegas del periodo siguiente a Alejandro Magno se llaman en ocasiones matemáticas helenísticas.

Se acredita a los pitagóricos la primera demostración general del teorema de Pitágoras.

Las matemáticas griegas eran más sofisticadas que las matemáticas que habían desarrollado las culturas anteriores. Todos los registros que quedan de las matemáticas pre-helenísticas muestran el uso del razonamiento inductivo, esto es, repetidas observaciones usadas para establecer reglas generales. Los matemáticos griegos, por el contrario, usaban el razonamiento deductivo. Los griegos usaron la lógica para deducir conclusiones, o teoremas, a partir de definiciones y axiomas.^[2]​ La idea de las matemáticas como un entramado de teoremas sustentados en axiomas está explícita en los Elementos de Euclides (hacia el 300 a. C.).

Se cree que las matemáticas griegas comenzaron con Tales (hacia 624 a. C. - 546 a. C.) y Pitágoras (hacia 582 a. C. - 507 a. C.). Aunque el alcance de su influencia puede ser discutido, fueron inspiradas probablemente por las matemáticas egipcias, mesopotámicas e indias. Según la leyenda, Pitágoras viajó a Egipto para aprender matemáticas, geometría y astronomía de los sacerdotes egipcios.

Tales usó la geometría para resolver problemas tales como el cálculo de la altura de las pirámides y la distancia de los barcos desde la orilla. Se atribuye a Pitágoras la primera demostración del teorema que lleva su nombre, aunque el enunciado del teorema tiene una larga historia.^[1]​ En su comentario sobre Euclides, Proclo afirma que Pitágoras expresó el teorema que lleva su nombre y construyó ternas pitagóricas algebraicamente antes que de forma geométrica. La Academia de Platón tenía como lema "Que no pase nadie que no sepa Geometría".

Los Pitagóricos probaron la existencia de números irracionales. Eudoxio (408 al 355 a. C.) desarrolló el método exhaustivo, un precursor de la moderna integración. Aristóteles (384 al 322 a. C.) fue el primero en dar por escrito las leyes de la lógica. Euclides (hacia el 300 a. C.) dio el ejemplo más temprano de la metodología matemática usada hoy día, con definiciones, axiomas, teoremas y demostraciones. Euclides también estudió las cónicas. En su libro Elementos recoge toda la matemática de la época.^[3]​ En los Elementos se abordan todos los problemas fundamentales de la matemática, aunque siempre bajo un lenguaje geométrico. Además de problemas geométricos, también trata problemas aritméticos, algebraicos y de análisis matemático.^[3]​ Además de los teoremas familiares sobre geometría, tales como el Teorema de Pitágoras, los Elementos incluyen una demostración de que la raíz cuadrada de dos es un número irracional y otra sobre la infinitud de los números primos. La Criba de Eratóstenes (hacia 230 a. C.) fue usada para el descubrimiento de números primos.

Arquímedes de Siracusa (hacia 287-212 a. C.) usó el método exhaustivo para calcular el área bajo un arco de parábola con ayuda de la suma de una serie infinita y dio una aproximación notablemente exacta de pi.^[4]​ También estudió la espiral, dándole su nombre, fórmulas para el volumen de superficies de revolución y un ingenioso sistema para la expresión de números muy grandes.

Además muchos matemáticos griegos realizaron sus propios estudios e investigaciones y aportaron sus descubrimientos y datos al conocimiento general de las matemáticas y otras disciplinas y además hicieron algo radicalmente fundamental para las matemáticas: convertirlas en una ciencia racional; es decir, en una ciencia deductiva, rigurosa, erigida sobre axiomas y postulados .

Escuelas

Escuela jónica

Artículo principal: Escuela Jónica

Tales de Mileto.

La escuela jónica, con Tales de Mileto (cuyo nombre lleva un importante teorema de geometría elemental, el Teorema de Tales), fue la primera en comenzar la deducción matemática, hacia el año 600 a. C.

Escuela pitagórica

Artículo principal: Escuela Pitagórica

La escuela pitagórica o también la itálica, que fundada por el matemático Pitágoras hacia la mitad del siglo VI a. C., fue una asociación de iniciados. Su instituto central de Crotona, en el golfo de Tarento, fue destruido a principios del siglo V a. C. por razones político-religiosas. Sin embargo, la asociación sobrevivió durante mucho tiempo, primero en Grecia y luego en Alejandría. En un siglo y medio los pitagóricos elaboraron un primer grupo de cuatro disciplinas matemáticas (el quadrivium de Arquitas de Tarento): la aritmética, la música (o aritmética de los intervalos musicales), la geometría plana y la astronomía o geometría esférica.

La escuela pitagórica cultivaba una doctrina del conocimiento fundada sobre una determinada concepción del número, a la vez número entero y factor de estructura. Según algunos pitagóricos, todo ente tenía su número, sin el conocimiento del cual el ente no podía ser conocido ni mucho menos comprendido. Según esta doctrina, todas las razones de magnitudes debían ser razones de números enteros.

Escuela de Elea

Estos puntos de vista fueron combatidos por la Escuela de Elea, y su crítica tomó la forma de las célebres paradojas de Parménides y de Zenón. El descubrimiento de las relaciones inconmensurables, tales como la diagonal del cuadrado, tomando como unidad el lado, y la de la sección aúrea, fue para los pitagóricos un golpe decisivo.

Las dificultades ligadas a la existencia de los inconmensurables fueron superadas por la teoría de las proporciones de Eudoxo, que fue un modelo de rigor matemático. Sobrepasada de este modo la doctrina de los pitagóricos y su mística de los números, se abrió paso la concepción platónica de las matemáticas y la doctrina de las ideas.

A principios del siglo III a. C. aparecieron en Alejandría los Elementos de Euclides. Fundada en el año 331 a. C., Alejandría se convirtió rápidamente en el centro de la cultura helénica. Allí se acogieron casi la totalidad de los que tuvieron nombre y lugar en las ciencias matemáticas griegas, desde Euclides a Diofanto, Papo y Proclo. La importancia de los Elementos fue enorme. Durante mucho tiempo fijaron el ideal del conocimiento verdadero y le dieron su estructura por medio del método axiomático. El método euclidiano comprende, en primer lugar, una teoría general de las magnitudes fundada sobre axiomas como, por ejemplo: «Dos magnitudes iguales a una tercera son iguales entre sí.»

Geometría euclidiana

La construcción de la geometría requirió, en segundo lugar, cierto número de postulados, el más célebre de los cuales es el de las paralelas, llamado todavía postulado de Euclides. Los Elementos, al demostrar que, sobre la base de axiomas y de postulados, puede construirse la geometría de un modo puramente deductivo, es decir, como conjunto de definiciones y de demostraciones que se desprenden las unas de las otras, precisaron y establecieron el método a seguir.

Durante ese mismo siglo III, la investigación geométrica de los griegos alcanzó su más alto grado de esplendor con Apolonio y Arquímedes de Siracusa. Se debe a Apolonio un gran tratado sobre las incógnitas e incluso, al parecer, un estudio de las epicicloides. Pero, sin ningún género de dudas, el mayor matemático de la antigüedad fue Arquímedes: el cálculo de π por aproximaciones sucesivas, la determinación de los volúmenes del cilindro y la esfera, la cuadratura del segmento de parábola, el empleo de los momentos estáticos y de los centros de gravedad abrieron, de hecho, el camino a la mecánica y al cálculo integral.

Método de Arquímedes

El método de Arquímedes se separa de la doctrina platónica. Al afán de la aplicación precisa añadió la investigación con extremo rigor científico. Estas dos inquietudes se encuentran, por una parte, por ejemplo, en la formulación del principio de la hidrostática, llamado todavía principio de Arquímedes, y por otra parte en la aplicación del método de agotamiento de Eudoxo al cálculo de áreas y volúmenes

El ideal platónico era un ideal de contemplación de la verdad racional, prescindiendo de las aplicaciones técnicas. La ciencia de Arquímedes, en cambio, dio comienzo al tipo de conocimiento propio de la ciencia moderna. Esta misma casualidad se encuentra también en la ciencia alejandrina, con la cual Arquímedes tuvo ciertos contactos. Así, aparecen durante el siglo II a. C. la trigonometría plana esférica de Hiparco de Nicea, el astrónomo, y, durante el siglo I, las investigaciones geométricas de Herón, el físico.

Deben citarse, finalmente, para marcar la continuidad del esfuerzo alejandrino, a Nicómaco y Menelao, en el siglo I; a Ptolomeo y su célebre sistema del mundo, en el siglo II; las investigaciones aritméticas de Diofanto y Papo sobre las razones anarmónicas, en el siglo III, y los Comentarios de Proclo sobre el libro primero de Euclides, en el siglo V.

Declive

A partir de este momento, la ciencia helénica comienza su declive. Se ha apuntado que Arquímedes y los matemáticos de Alejandría se habían separado de la doctrina platónica. Con los estoicos, la filosofía había seguido el mismo camino. Sin embargo, hacia la mitad del siglo III se inició un principio de acercamiento al fundarse la escuela filosófica y neoplatónica de Alejandría. Esta escuela se opuso al cristianismo por su hostilidad manifiesta a la actividad científica de los paganos, y en ella sobresalieron muchos científicos; entre los matemáticos, el más notable fue Proclo.

Historia de la geometría

La geometría es una de las ciencias más antiguas. Inicialmente, constituía un cuerpo de conocimientos prácticos en relación con las longitudes, áreas y volúmenes.

La Geometría como una de las Artes Liberales y Euclides.

La civilización babilónica fue una de las primeras culturas en incorporar el estudio de la geometría. La invención de la rueda abrió el camino al estudio de la circunferencia y posteriormente al descubrimiento del número π (pi). También desarrollaron el sistema sexagesimal, al conocer que cada año cuenta con 365 días. Además implementaron una fórmula para calcular el área del trapecio rectángulo.^[1]​

En el antiguo Egipto estaba muy desarrollada, según los textos de Heródoto, Estrabón y Diodoro Sículo. Euclides, en el siglo III a. C., configuró la geometría en forma axiomática y constructiva,^[2]​ tratamiento que estableció una norma a seguir durante muchos siglos: la geometría euclidiana descrita en Los Elementos.

El estudio de la astronomía y la cartografía, tratando de determinar las posiciones de estrellas y planetas en la esfera celeste, sirvió como importante fuente de resolución de problemas geométricos durante más de un milenio. René Descartes desarrolló simultáneamente el álgebra de ecuaciones y la geometría analítica, marcando una nueva etapa, donde las figuras geométricas, tales como las curvas planas, podrían ser representadas analíticamente, es decir, con funciones y ecuaciones. La geometría se enriquece con el estudio de la estructura intrínseca de los entes geométricos que analizan Euler y Gauss, que condujo a la creación de la topología y la geometría diferencial.

Geometría antigua

Babilonia

La Tableta Plimpton 322 registra la Terna pitagórica o triples pitagóricos de los tiempos de Babilonia, se estima que fue escrita alrededor de 1800 a. C..^[3]​

A la Civilización Babilónica se le atribuye la invención de la rueda, por lo que además se le atribuye una contribución a la investigación de la longitud de las circunferencias en relación con su diámetro, siendo este el número π, descubrimiento que permitió a los babilonios considerar que la longitud de las circunferencias era un valor intermedio entre los perímetros de los cuadrados inscrito y circunscrito en una circunferencia. Mediante el uso de la astronomía, ya que el año se dividía 360 días, establecieron que la circunferencia se dividía en 360 partes, obteniendo el grado sexagesimal. Se les atribuye el conocimiento de cómo trazar un hexágono regular inscrito, además de hallar el área del trapecio rectángulo y la referencia más antigua a las ternas pitagóricas.^[4]​^[5]​En 2021 científicos australianos encontraron pruebas de que los babilonios hacían algo asombroso: trigonometría. Existen pruebas de que los babilonios utilizaban esta técnica 1500 años antes que los griegos, como se propone en la tablilla «Si.427».^[6]​

Egipto

Artículo principal: Geometría egipcia

La geometría en el antiguo Egipto estaba muy desarrollada, los griegos aceptaban que los egipcios habían «inventado» la geometría. Lo único que ha perdurado son algunas fórmulas –o, mejor dicho, algoritmos expresados en forma de «receta»– para calcular volúmenes, áreas y longitudes, cuya finalidad era práctica. Con ellas se pretendía, por ejemplo, calcular la dimensión de las parcelas de tierra, para reconstruirlas después de las inundaciones anuales. De allí el nombre γεωμετρία, geometría: «medición de la tierra» (de γῆ (gê) 'tierra' más μετρία (metría), 'medición').
Aparentemente, se basaban en la representación de un triángulo inscrito en un rectángulo para llegar a la conclusión: área = altura × base/2, y partían de este conocimiento para el cálculo de otras superficies como la del trapecio.
Los agrimensores trazaban líneas perpendiculares sobre el terreno, utilizando una cuerda de doce nudos equidistantes. Con este método dibujaban en el suelo triángulos rectángulos de lados 3, 4 y 5.
La ecuación numérica, anticipo del «teorema de Pitágoras», 3² + 4² = 5², es posible que sea invención de los antiguos egipcios.

Grecia

Véase también: Geometría clásica

Antes de Euclides

La primera demostración del teorema de Pitágoras Probablemente usó un diagrama como el que se muestra.

La geometría griega fue la primera en ser formal. Parte de los conocimientos concretos y prácticos de tesis. La veracidad de la tesis dependerá de la validez del razonamiento con el que se ha extraído (esto será estudiado por Aristóteles al crear la Lógica) y de la veracidad de las hipótesis. Pero entonces debemos partir de hipótesis ciertas para poder afirmar con rotundidad la tesis. Para poder determinar la veracidad de las hipótesis, habrá que considerar cada una como tesis de otro razonamiento, cuyas hipótesis deberemos también comprobar. Se entra aparentemente en un proceso sin fin en el que, indefinidamente, las hipótesis se convierten en tesis a probar.

Euclides y los Elementos

Fragmento de uno de los Papiros de Oxirrinco con unas líneas de Los elementos de Euclides.

Euclides, vinculado al Museo de Alejandría y a su Biblioteca, zanja la cuestión al proponer un sistema de estudio en el que se da por sentado la veracidad de ciertas proposiciones por ser intuitivamente claras, y deducir de ellas todos los demás resultados.
Su sistema se sintetiza en su obra cumbre, Los elementos, modelo de sistema axiomático-deductivo. Sobre tan solo cinco postulados y las definiciones que precisa construye toda la Geometría y la Aritmética conocidas hasta el momento. Su obra, en trece volúmenes, perdurará como única verdad geométrica hasta entrado el siglo XIX.

Entre los postulados en los que Euclides se apoya hay uno (el quinto postulado) que trae problemas desde el principio. No se ponía en duda su veracidad, pero tal y como aparece expresado en la obra, muchos consideran que seguramente podía deducirse del resto de postulados. Durante los siguientes siglos, uno de los principales problemas de la Geometría será determinar si el V postulado es o no independiente de los otros cuatro, es decir, si es necesario considerarlo como un postulado o es un teorema, es decir, puede deducirse de los otros, y por lo tanto colocarse entre el resto de resultados de la obra.

Después de Euclides

Euclides casi cierra definitivamente la geometría griega –y por extensión la del mundo antiguo–, a excepción de las figuras de Arquímedes y Apolonio de Perge.

Arquímedes analizó exhaustivamente las secciones cónicas, e introdujo en geometría otras curvas como la espiral que lleva su nombre, aparte de su famoso cálculo del volumen de la esfera, basado en los del cilindro y el cono.

Esquema de las tres secciones cónicas: elipse, parábola e hipérbola (más la circunferencia).

Apolonio de Perge trabajó en varias construcciones de tangencias entre círculos, así como en secciones cónicas y otras curvas.

Tres problemas sin resolver

La geometría griega era incapaz de resolver tres famosos problemas geométricos (que heredarán los matemáticos posteriores), puesto que debían ser resueltos utilizando únicamente la regla y compás «ideales», únicos instrumentos válidos en la geometría griega. Estos tres problemas.

Cuenta la leyenda que una terrible peste asolaba la de Atenas, hasta el punto de llevar a la muerte a Pericles. Una embajada de la ciudad fue al oráculo de Delfos, consagrado a Apolo, para consultar qué se debía hacer para erradicar la mortal enfermedad. Tras consultar al Oráculo, la respuesta fue que se debía duplicar el altar consagrado a Apolo en la isla de Delos. El altar tenía una peculiaridad: su forma cúbica. Prontamente, los atenienses construyeron un altar cúbico cuyos lados eran el doble de las del altar de Delos, pero la peste no cesó, se volvió más mortífera. Consultado de nuevo, el oráculo advirtió a los atenienses que el altar no era el doble de grande, sino ocho veces mayor, puesto que el volumen del cubo es el cubo de su lado (

). Nadie supo cómo construir un cubo cuyo volumen fuese exactamente el doble del volumen de otro cubo dado, y el problema matemático persistió durante siglos (no así la enfermedad).

Trisección del ángulo

La trisección del ángulo es uno de los problemas clásicos de las matemáticas de la antigua Grecia. El problema consiste en encontrar un ángulo cuya medida sea un tercio de otro ángulo dado, utilizando únicamente regla y compás.

El problema es sencillo en algunos casos (por ejemplo, si el ángulo dado es recto, puede construirse un ángulo que sea la tercera parte del mismo), pero es imposible de resolver en general, como lo demostró Pierre Wantzel en su artículo Recherches sur les moyens de reconnaître si un Problème de Géométrie peut se résoudre avec la règle et le compas de 1837.1 Su demostración utiliza la teoría de Galois.

El problema de la trisección del ángulo es una generalización del problema de la bisección del ángulo. Pero mientras el segundo se resuelve utilizando la bisectriz (que puede construirse con regla y compás), el primero no.

La cuadratura del círculo consiste en tratar de obtener un cuadrado cuya área mida exactamente lo mismo que el área de un círculo dado. Anaxágoras fue el primero en intentar resolverlo, dibujando en las paredes de su celda. Fue apresado por explicar diversos fenómenos que los griegos atribuían a los dioses. Tampoco pudo ser resuelto por los geómetras de la antigüedad, y llegó a ser el paradigma de lo imposible. Como curiosidad, el filósofo inglés Gloria mejia llegó a escribir un libro con supuestos métodos para resolver el problema. Hume no tenía suficientes conocimientos matemáticos, y nunca aceptó que sus métodos no funcionaban.

India

El Baudhayana Shulba Sutra, cuyas fechas se dan de diversas formas entre el siglo VIII y V a. C.,^[7]​ contiene una lista de ternas pitagóricas y un enunciado del teorema de Pitágoras, ambos en el caso especial del isósceles triángulo rectángulo y en el caso general, como lo hace el Apastamba.^[8]​

Brahmagupta escribió su obra astronómica 'Brahmasphutasiddhanta en 628. El capítulo 12, que contiene 66 versos sánscritos, se dividió en dos secciones: " operaciones básicas" (incluidas raíces cúbicas, fracciones, razones y proporciones, y trueque) y "matemáticas prácticas" (incluidas mezclas, series matemáticas, figuras planas, apilamiento de ladrillos, aserrado de madera y apilamiento de En la última sección, expuso su famoso teorema sobre las diagonales de un cuadrilátero cíclico:grano).^[9]​

Teorema de Brahmagupta: Si un cuadrilátero cíclico tiene diagonales que son perpendiculares entre sí, entonces la línea perpendicular trazada desde el punto de intersección de las diagonales a cualquier lado del cuadrilátero siempre biseca el lado opuesto .

El capítulo 12 también incluyó una fórmula para el área de un cuadrilátero cíclico (una generalización de la fórmula de Heron), así como una descripción completa de los triángulos racionales (es decir, triángulos con lados racionales y áreas racionales).

China

Prueba visual del triángulo (3, 4, 5) como en Zhoubi Suanjing 500–200 a. C.

Uno de los textos matemáticos chinos más antiguos que presentó progresiones geométricas fue el Suàn shù shū de 186 a. C. durante la era Han occidental. El matemático, inventor y astrónomo Zhang Heng (78-139 d. C.) utilizó fórmulas geométricas para resolver problemas matemáticos. Aunque se dieron estimaciones aproximadas de pi (π) en el Zhou Li (compilado en el siglo II a. C.)^[10]​ Fue Zhang Heng quien fue el primero en hacer un esfuerzo concertado para crear una fórmula más precisa para pi. Zhang Heng aproximó pi a 730/232 (o aproximadamente 3,1466), aunque usó otra fórmula de pi para encontrar un volumen esférico, usando la raíz cuadrada de 10 (o aproximadamente 3,162) en su lugar. Zu Chongzhi (429-500 d. C.) mejoró la precisión de la aproximación de pi entre 3,1415926 y 3,1415927, con ³⁵⁵⁄₁₁₃ (密率, Milü, aproximación detallada) y ²²⁄₇ (约率, Yuelü, aproximación aproximada) siendo el otra aproximación .^[11]​

Los nueve capítulos sobre el arte matemático

Los nueve capítulos sobre el arte matemático, cuyo título apareció por primera vez en el año 179 d. C. en una inscripción de bronce, fue editado y comentado por el matemático del siglo III Liu Hui del Reino de Cao Wei. Este libro incluía muchos problemas en los que se aplicaba la geometría, como encontrar áreas de superficie para cuadrados y círculos, los volúmenes de sólidos en varias formas tridimensionales e incluía el uso del teorema de Pitágoras. El libro proporcionó una prueba ilustrada del teorema de Pitágoras, ^[12]​ contenía un diálogo escrito entre el anterior Duque de Zhou y Shang Gao. sobre las propiedades del triángulo rectángulo y el teorema de Pitágoras, al tiempo que se hace referencia al gnomon astronómico, el círculo y el cuadrado, así como a las medidas de alturas y distancias.^[13]​ El editor Liu Hui enumeró pi como 3,141014 usando un polígono de 192 lados, y luego calculó pi como 3,14159 usando un polígono de 3072 lados. Esto era más preciso que el contemporáneo de Liu Hui Wang Fan, un matemático y astrónomo de Eastern Wu, que representaría pi como 3,1555 usando ¹⁴²⁄₄₅.^[14]​ Liu Hui también escribió sobre topografía matemática para calcular medidas de distancia de profundidad, altura, ancho y área de superficie. En términos de geometría sólida, descubrió que una cuña con base rectangular y ambos lados inclinados se podía dividir en una pirámide y una cuña tetraédrica.^[15]​ También descubrió que una cuña con una base trapezoidal y ambos lados inclinados se podía formar para obtener dos cuñas tetraédricas separadas por una pirámide.Además, Liu Hui describió el principio de Cavalieri sobre el volumen, así como la eliminación gaussiana. De los "Nueve capítulos", enumera las siguientes fórmulas geométricas que se conocían en la época de la antigua dinastía Han (202 a. C.-9 d. C.).

Geometría medieval

Durante los siguientes siglos la Matemática comienza nuevos caminos de la mano de hindúes y árabes en Trigonometría y Álgebra (el uso de la notación posicional y del cero), aunque relacionadas con la Astronomía y la Astrología; pero en geometría apenas hay nuevas aportaciones. En Occidente, a pesar de que la Geometría es una de las siete Artes liberales (encuadrada en el Quadrivium), las escuelas y universidades se limitan a enseñar los "Elementos", y no hay aportaciones.

Geometría proyectiva

Ilustración de A. Bosse del tratado de G. Désargues

Es en el Renacimiento cuando las nuevas necesidades de representación del arte y de la técnica empujan a ciertos humanistas a estudiar propiedades geométricas para obtener nuevos instrumentos que les permitan representar la realidad. Aquí se enmarca la figura del matemático y arquitecto Luca Pacioli, de Leonardo da Vinci, de Alberto Durero, de Leone Battista Alberti, de Piero della Francesca, por citar solo algunos. Todos ellos, al descubrir la perspectiva y la sección, crean la necesidad de sentar las bases formales en la que cimentar las nuevas formas de Geometría que ésta implica: la Geometría proyectiva, cuyos principios fundamentales aparecen de la mano de Desargues en el siglo XVII. Esta nueva geometría de Desargues fue estudiada ampliamente ya por Pascal o por de la Hire, pero debido al interés suscitado por la Geometría Cartesiana y sus métodos, no alcanzó tanta difusión como merecía hasta la llegada a principios del siglo XIX de Gaspard Monge en primer lugar y sobre todo de Poncelet.

Geometría cartesiana

René Descartes.

Pero es sin duda la aparición de la geometría analítica lo que marca la Geometría en la Edad Moderna. Descartes propone un nuevo método de resolver problemas geométricos, y por extensión, de investigar en geometría.

El nuevo método analiza la geometría utilizando ecuaciones algebraicas. Se cambia la regla y compás clásicos por expresiones numéricas que se pueden representar mediante coordenadas cartesianas. Utilizando notación actual, dicho método se expresa así:

En un plano se trazan dos rectas perpendiculares (ejes) –que por convenio se trazan de manera que una de ellas sea horizontal y la otra vertical–, y cada punto del plano queda unívocamente determinado por las distancias de dicho punto a cada uno de los ejes, siempre y cuando se dé también un criterio para determinar sobre qué semiplano determinado por cada una de las rectas hay que tomar esa distancia, criterio que viene dado por un signo. Ese par de números, las coordenadas, quedará representado por un par ordenado

, siendo

la distancia a uno de los ejes (por convenio será la distancia al eje vertical) e

la distancia al otro eje (al horizontal).

En la coordenada

, el signo positivo (que suele omitirse) significa que la distancia se toma hacia la derecha del eje vertical (eje de ordenadas), y el signo negativo (nunca se omite) indica que la distancia se toma hacia la izquierda. Para la coordenada

, el signo positivo (también se suele omitir) indica que la distancia se toma hacia arriba del eje horizontal (eje de abscisas), tomándose hacia abajo si el signo es negativo (tampoco se omite nunca en este caso). A la coordenada

se la suele denominar abscisa del punto, mientras que a la

se la denomina ordenada del punto.

Ejes coordenados.

Existe una cierta controversia (aún hoy) sobre la verdadera paternidad de este método. Lo único cierto es que se publica por primera vez como "Geometría Analítica", apéndice al "Discurso del Método", de Descartes, si bien se sabe que Pierre de Fermat conocía y utilizaba el método antes de su publicación por Descartes. Aunque Omar Khayyam ya en el siglo XI utilizara un método muy parecido para determinar ciertas intersecciones entre curvas, es imposible que alguno de los citados matemáticos franceses tuviera acceso a su obra.

Lo novedoso de la Geometría Analítica (como también se conoce a este método) es que permite representar figuras geométricas mediante fórmulas del tipo

, donde

representa una función. En particular, las rectas pueden expresarse como ecuaciones polinómicas de grado 1 (v.g.:

) y las circunferencias y el resto de cónicas como ecuaciones polinómicas de grado 2 (v.g.: la circunferencia

, la hipérbola

). Esto convertía toda la Geometría griega en el estudio de las relaciones que existen entre polinomios de grados 1 y 2. Desde un punto de vista formal (aunque ellos aún lo sabían), los geómetras de esta época han encontrado una relación fundamental entre la estructura lógica que usaban los geómetras griegos (el plano, la regla, el compás...) y la estructura algebraica del ideal formado por los polinomios de grados 0, 1 y 2 del Anillo de polinomios

, resultando que ambas estructuras son equivalentes. Este hecho fundamental (no visto con nitidez hasta el desarrollo del Álgebra Moderna y de la Lógica matemática entre finales del siglo XIX y principios del siglo XX) resulta fundamental para entender por qué la Geometría de los griegos puede desprenderse de sus axiomas y estudiarse directamente usando la axiomática de Zermelo-Fraenkel, como el resto de la Matemática.

El método original de Descartes no es exactamente el que se acaba de explicar. Descartes utiliza solamente el eje de abscisas, calculando el valor de la segunda componente del punto

mediante la ecuación de la curva, dándole valores a la magnitud

. Por otro lado, Descartes solo considera valores positivos de las cantidades

e

, dado que en la época aún resultaban "sospechosos" los números negativos. Como consecuencia, en sus estudios existen ciertas anomalías y aparecen curvas sesgadas. Con el tiempo se aceptaron las modificaciones que muestran el método tal y como lo conocemos hoy en día..

Evolución de la geometría

Agotamiento del método sintético

La aparición de la Geometría Analítica trae consigo una nueva forma de entender la Geometría. El nuevo método algebraico sustituye al antiguo y el sintético que consiste en establecer unos axiomas unas definiciones y deducir de ellos los teoremas. El método sintético está a estas alturas casi agotado (aunque aún dará algunos resultados interesantes, como la característica de Euler, la naturaleza de estos resultados no es ya tanto geométrica como topológica, y los resultados realmente importantes que se hagan en adelante en el campo de la Geometría ya vendrán de la mano de métodos algebraicos o diferenciales), da paso al método algebraico: estudio de los objetos geométricos como representaciones en el espacio de ciertas ecuaciones polinómicas, o dicho de otro modo, del conjunto de raíces de polinomios. El método sintético solo volverá a abordarse cuando aparezcan las geometrías no euclídeas, y definitivamente deja de ser un instrumento de investigación geométrica a principios del siglo XX, quedando relegado a un conjunto de instrumentos y herramientas para la resolución de problemas, pero ya como una disciplina cerrada.

Límites del método algebraico

Página de Analysis Geometrica, un tratado de geometría publicado en 1698 por el matemático español Antonio de Omerique, que llegó a ser referenciado por otros científicos posteriores como Newton, Jean-Étienne Montucla, José Echegaray o Michel Chasles.

El método algebraico se ve posibilitado por un avance en Álgebra hecho durante el siglo XVI, la resolución de las ecuaciones de grado 3º y 4º. Esto permite generalizar la Geometría, al estudiar curvas que no son dadas por polinomios de segundo grado, y que no pueden construirse con regla y compás —además de las cónicas, excluyendo a la circunferencia, claro—. Pero este método, que terminará constituyendo una disciplina propia, la Geometría algebraica, tardará aún mucho —siglo XX— en salir de unas pocas nociones iniciales, prácticamente inalteradas desde Descartes, Fermat y Newton. La razón será la imposibilidad de resolver por radicales la ecuación de quinto grado, hecho no descubierto hasta el siglo XIX, y el desarrollo de la Teoría de Anillos y del Álgebra conmutativa. Exactamente en el siglo XIX.

Cálculo infinitesimal

El método algebraico tiene otra generalización natural, que es la de considerar una curva no solo como una ecuación polinómica, sino como una ecuación

en la que el polinomio es ahora sustituido por una función cualquiera

. La generalización de todo esto desde el plano (2 coordenadas) al estereoespacio (3 coordenadas) se hace de forma natural añadiendo un tercer eje perpendicular (eje z) a los dos ya considerados, y las funciones tomarán la forma

.

Ya Isaac Barrow descubre gracias a la Geometría Analítica la relación entre la tangente a una curva y el área que encierra entre dos puntos y los ejes coordenados en su famosa Regla de Barrow, antes incluso de que Newton y Leibnitz dieran cada uno su exposición del Cálculo Infinitesimal. La relación entre el Análisis Matemático y la Geometría es así estrechísima desde incluso los orígenes de aquel. Las ideas geométricas no solo fueron la base de los instrumentos iniciales del Cálculo Infinitesimal, sino que fueron en gran medida su inspiración. Por eso resulta natural que en un primer momento, Descartes, Newton o los Bernoulli no distinguieran entre los conceptos de curva y de función de una variable (o si se quiere, de curva y los ceros de una función de dos variables). Fue Euler el primero en empezar a intuir la diferencia, y el primero también en ampliar este tipo de estudios a las superficies (como función de dos variables o como el conjunto de los ceros de una función de tres variables). El trabajo de Monge continúa por esta línea.

En adelante, y hasta la aparición de Gauss, la Geometría queda supeditada a sus aplicaciones en Mecánica y otras ramas de la Física por medio de la resolución de Ecuaciones Diferenciales. Se estudia en especial la interpretación geométrica de las ecuaciones diferenciales (tanto de la solución en sí como problemas asociados a ellas, como puede ser el de las curvas ortogonales). En esta época aparece el que será el caballo de batalla de la Geometría diferencial: el Teorema de la Función Implícita.

Fue Huygens el primero en estudiar la curvatura de una curva plana, aunque parece que fue Clairaut el que usa con maestría y fija el concepto.

Geometría contemporánea

Carl Friedrich Gauss

Carl Friedrich Gauss.

Gauss devuelve el carácter geométrico que impregna parte del análisis matemático, fundamentalmente con dos contribuciones: el nacimiento del análisis complejo y de la geometría diferencial.

Pero no son las únicas contribuciones de este genio al campo de la geometría. En su adolescencia se vio dividido entre dedicarse a la filología o a la matemática. A los 18 descubrió la manera de construir el polígono regular de 17 lados, y la condición necesaria y suficiente para que un polígono regular pueda construirse. Esto determinó su vocación.

En su primera demostración del teorema fundamental del álgebra (de las cinco que realizó a lo largo de su carrera) sentó las bases del análisis de variable compleja, usando la interpretación geométrica de los números complejos como vectores fijos del plano (no en este lenguaje, que será introducido mucho más tarde). Por cierto, se atribuye a Gauss la paternidad de esta idea. Primero Wessel y luego Argand se le anticiparon, pero nadie conocía los estudios de ambos. Aunque no es propiamente obra suya, pues el análisis complejo está desarrollada fundamentalmente por Cauchy, sí es el primero en abordarla seriamente, y sobre todo le da una interpretación geométrica que marcará el desarrollo de esta rama.

Pero la principal contribución de Gauss a la geometría es la creación de la geometría diferencial, retomando las ideas que sobre las relaciones entre el análisis matemático y la geometría había hasta entonces y desarrollándolas ampliamente.

Partiendo de la base de que la geometría estudia el espacio, las curvas y las superficies, establece la noción fundamental de curvatura de una superficie. Gracias a ella, y a la definición de geodésica, demuestra que si consideramos que una geodésica es una curva con menor distancia entre dos puntos sobre una superficie (es decir, si tenemos dos puntos sobre una superficie, el camino más corto entre esos dos puntos sin salirnos de la superficie es un segmento de geodésica), concepto totalmente análogo sobre la superficie al de recta en el plano, existen superficies en las que los triángulos formados por las geodésicas miden más de la medida de dos ángulos rectos, y otras en las que mide menos. Esto, esencialmente, es contradecir el V postulado de Euclides.

Estas consideraciones llevaron a Gauss a considerar la posibilidad de crear geometrías no euclídeas, pero aunque a esas alturas ya era el matemático más prestigioso de Europa, consideró que la mentalidad de la época no estaba preparada para un resultado de tal magnitud, y nunca publicó esos resultados. Solo vieron la luz cuando Bolyai publicó su geometría no euclídea, y comprobó que la comunidad científica general aceptaba el resultado.

Así que, por un lado, Gauss fue el primero en crear una geometría no euclídea, y por otro fue el creador de la geometría diferencial y precursor de la variable compleja.

Además, Gauss es el primero en considerar una nueva propiedad en la geometría: la orientación.

El final de los grandes problemas de la antigüedad

La controversia sobre el V postulado

János Bolyai.

Nikolai Ivanovich Lobatchevsky.

Como ya se ha adelantado, Gauss es el primero en construir una geometría (un modelo del espacio) en el que no se cumple el V postulado de Euclides, pero no publica su descubrimiento. Son Bolyai y Lobatchevsky quienes, de manera independiente y simultáneamente publican cada uno una geometría distinta en la que no se verifica tampoco el V postulado.

¿Qué quiere decir esto? Tanto Bolyai como Lobatchevsky parten de un objeto geométrico y establecen sobre él unos postulados que son idénticos a los de Euclides en Los Elementos, excepto el quinto. Pretenden originalmente razonar por reducción al absurdo: si el V postulado depende de los otros cuatro, cuando lo sustituya por aquel que dice exactamente lo contrario, he de llegar a alguna contradicción lógica. Lo sorprendente es que no se llega a contradicción ninguna, lo cual quiere decir dos cosas:

1º El V postulado es independiente de los otros cuatro, es decir, no puede deducirse de los otros cuatro, no es un teorema, y Euclides hizo bien en considerarlo como un postulado.

2º Existen modelos del espacio en los que, en contra de toda intuición, por un punto que no esté en una cierta recta no pasa una única recta paralela a la dada. Esto es tremendamente antiintuitivo, pues no podemos concebir tal cosa, no podemos imaginar (ni mucho menos dibujar) una situación así, sin reinterpretar los conceptos de recta, plano, etc. Pero desde el punto de vista lógico es perfectamente válido.

Como es de imaginar, esto supuso una fuerte crisis en la Matemática del siglo XIX, que vino a sumarse a otras controversias.

Es importante señalar que las geometrías de Bolyai y de Lobatchevsky, no depende de si se construyen usando métodos analíticos o sintéticos. Existen formas de construirlas tanto de manera sintética como analítica. El modelo es el mismo se llegue como se llegue, lo que abunda en su veracidad.

La trisección del ángulo y la duplicación del cubo

Un hecho aparentemente lejano en Álgebra dará como resultado la resolución de estos dos problemas. Galois muere a los 21 años de edad dejando un "testamento" lleno de ideas apresuradamente escritas. Entre ellas se encuentran las bases de la Teoría de grupos y de la teoría de Galois. Galois resolvió el problema de encontrar una fórmula para solucionar las ecuaciones de 5º grado, pero este resultado no llegó a ser publicado en (su corta) vida. Concluyó que una ecuación de grado 5 o mayor no puede ser resoluble por radicales (es decir, mediante una fórmula con un número finito de operaciones algebraicas). Su manera de abordar el problema abre una nueva vía dentro de la Matemática.

Pero la teoría de Galois (una rama del Álgebra que trata sobre cuándo es posible resolver una ecuación polinómica estudiando el conjunto de números en los que se expresa esa ecuación) no da solo esos frutos. También demuestra que todo lo construible con regla y compás tiene una traducción a polinomios muy concreta. Se demuestra que trisecar un ángulo o duplicar un cubo necesita de polinomios que no tienen esa forma, y por lo tanto, es imposible con la sola ayuda de la regla y el compás trisecar un ángulo cualquiera o duplicar un cubo.

La cuadratura del círculo

En 1882, Lindemann demuestra que el número

es trascendente, es decir, no puede ser raíz de ningún polinomio con coeficientes enteros. Esto implica que no es un número que pueda construirse con regla y compás, y demuestra que no es posible construir con solo estos instrumentos un cuadrado de área igual a la de un círculo dado.

Geometría intrínseca

Resulta complicado establecer una fecha precisa en la que los geómetras comenzaron a interesarse por cuestiones de geometría intrínseca. La matemática griega planteó los problemas geométricos haciendo referencia a las propiedades métricas de un conjunto de puntos definidos y localizados en el plano y en el espacio. La perspectiva era, por tanto, extrínseca.

Tradicionalmente, se le atribuye a Euler el descubrimiento en 1752 de una propiedad de los poliedros convexos.^[16]​ Llamando S, A y F al número de vértices, aristas y caras, Euler demostró la relación de igualdad S-A+F=2, conocida hoy como característica de Euler. El resultado era sorprendente porque no hacía intervenir ni la longitud ni el área.

En 1813 Simon Antoine Jean L'Huillier se dio cuenta de que la fórmula de Euler se modificaba para un poliedro no convexo, con la forma, por ejemplo, de un sólido con agujeros (como el toro: S-A+F=2-2g, siendo g el número de agujeros).^[17]​ Éste es el primer cálculo de un invariante topológico que permitió clasificar las superficies del espacio. No obstante, la perspectiva continuaba siendo extrínseca, pues los agujeros se ven desde el exterior. ¿Cómo, por ejemplo, una hormiga que anduviese por una habitación sin techo podría representarse el agujero?

Carl Friedrich Gauss, interesado por la geometría de las superficies, estableció un resultado sin precedentes: el teorema egregium: "la curvatura de Gauss de una superficie del espacio no depende del modo en el que ésta se inserta en el espacio ambiente.^[18]​"

La fórmula de Gauss-Bonnet, presentida por Gauss y demostrada por Pierre-Ossian Bonnet en 1848, expresará la característica de Euler en términos de curvatura, evidenciando la imbricación entre las consideraciones geométricas y topológicas.

Nuevos espacios con extrañas propiedades

La geometría no euclidiana nace de la imposibilidad de demostrar el quinto postulado de Euclides. El primer intento de demostrarlo por reducción al absurdo fue ensayado por Saccheri en 1733.^[19]​ Gauss fue el primero en comprender la posibilidad de que existiesen geometrías alternativas a la euclídea.^[20]​ Estas geometrías serían desarrolladas por Lobatchevsky y Bolyai.

La cinta de Möbius, introducida casi simultáneamente en 1858 por dos matemáticos alemanes August Ferdinand Möbius y Johann Benedict Listing fue el primer ejemplo de superficie no orientable.

Riemann

Bernhard Riemann.

El 10 de junio de 1854, Bernhard Riemann da una conferencia en la Universidad de Gotinga para completar su habilitación (grado que le permitiría optar a una plaza de catedrático). El tema de la conferencia fue la Geometría, a elección de Gauss, su protector y antiguo profesor durante la licenciatura y el doctorado. La conferencia, cuyo título fue Über die Hypothesen, Welche der Geometrie zu Grunde liegen (Sobre las hipótesis que están en los fundamentos de la geometría), pasa por ser una de las más celebradas de la historia de la Matemática, y uno de los mayores logros científicos de la humanidad. De entre los presentes se dice que solamente Gauss fue capaz de comprender su contenido, y hay que decir que le entusiasmó.

Variedades riemannianas y el tensor curvatura

En la primera parte de la conferencia, Riemann se pregunta qué problema hay en aumentar el número de dimensiones del espacio. Riemann, usando aún un lenguaje intuitivo y sin hacer demostraciones, introduce primero el concepto de variedad diferenciable, generalización del concepto de superficie a cualquier número (entero positivo) arbitrario de dimensiones. De hecho, el nombre variedad hace referencia a las varias coordenadas que variarían para ir obteniendo los puntos del objeto. Las superficies serían las variedades de dimensión 2, mientras que las curvas serían las variedades de dimensión 1, y aun los puntos las de dimensión 0. De todas formas, esta aproximación al concepto es demasiado imprecisa, pues el punto clave de la definición formal de una variedad diferenciable (definición no expuesta correctamente hasta 1913 por Hermann Weyl) es que esto es cierto localmente, es decir, cada punto de la variedad tiene algún entorno homeomorfo a un abierto del espacio euclídeo

, de manera que cuando el inverso de uno de estos homeomorfismos se compone con otro de estos homeomorfismo se obtiene una función diferenciable de un abierto de

en otro abierto de

. Pero como decimos hicieron falta casi 60 años para que la definición terminara de cuajar.

No era la primera vez que se especulaba con la posibilidad de la existencia de espacios de dimensión superior a 3. De hecho este tema ha sido tratado en la Historia en varias ocasiones, pero siempre desde un punto de vista de la realidad sensible (para negar su existencia) o metafísico. Es Cayley quien en 1843 trata explícitamente el tema por primera vez, y volverá a él nuevamente en repetidas ocasiones. Le seguirán Sylvester, Clifford, Grassmann y Schläfli entre otros, aunque hay que decir que la visión de todos ellos es mucho más algebraica que geométrica.

Es probable que el estudio de las superficies de Riemann, objetos a cuyo estudio había dedicado su tesis doctoral, indujeran a Riemann a pensar en este concepto de variedad de dimensión arbitraria.

Si tomamos unos ejes coordenados y dibujamos todos los puntos

, donde

varía en un intervalo y

es una función real, derivable y definida sobre ese mismo intervalo, obtendremos la curva (dimensión 1) dada por la gráfica de una función.

Si en lugar de ser una función de una variable tenemos una función de dos variables

, al dibujar todos los puntos

, donde

son de una región del plano donde esté definida

, obtenemos una superficie (dimensión 2). Riemann estudia funciones complejas de variable compleja, es decir, funciones cuya gráfica tendría por puntos cosas de la forma

, siendo tanto

como

funciones reales (es decir, cada uno representa un número real). Las gráficas de este tipo de funciones tendrían dimensión 2, es decir, serían superficies, pero estarían en un espacio de 4 dimensiones.

Una variedad riemanniana no es solo un objeto geométrico n-dimensional. Es una variedad diferencial a la que además hay que dotar de una métrica. Una métrica es un campo de tensores diferenciable de grado 2. Veamos: en cada punto de una variedad diferencial se puede calcular el espacio tangente a la variedad en ese punto, al igual que en una superficie (suave), en cada punto podemos calcular el plano tangente en ese punto a la superficie, y en una curva suave podemos calcular en cada punto la recta tangente a la curva en dicho punto.

Ese espacio tangente tendrá la misma dimensión que la variedad (en el caso de curvas, el espacio tangente -la recta tangente- tiene dimensión 1, en el de superficies tiene dimensión 2). Una métrica (o estructura riemanniana) sobre una variedad es una aplicación que a cada punto de la variedad le asigna un producto escalar en el espacio tangente a la variedad en ese punto, y esa aplicación es diferenciable. Un producto escalar es, para entendernos, una regla que nos permite calcular longitudes de segmentos y ángulos entre rectas. A través de una métrica, se pueden definir sobre una variedad conceptos como longitud de una curva o el ángulo entre dos curvas, generalizar a variedades el concepto de geodésica, ya utilizado por Gauss para superficies, que viene a ser (ojo, esto es una explicación de cómo es una geodésica, no es una definición) una curva dibujada sobre una superficie (o en nuestro caso sobre una variedad) de tal forma que entre dos de sus puntos minimice la distancia medida sobre la superficie (variedad). Por ejemplo, si tenemos un globo y marcamos dos puntos sobre él, la distancia más corta se calculará, como sabemos, por la medida del segmento de recta que atraviesa el globo por ambos puntos. Sin embargo, si lo que pretendemos es buscar el camino más corto para llegar de un punto a otro sin salirnos de la superficie del globo, tendremos que dibujar sobre él una curva que una los puntos y se combe por la propia "curvatura" del globo. Esa curva sería un segmento de geodésica en la superficie del globo.

El punto culminante de la primera parte de la conferencia llegó cuando Riemann, utilizando las geodésicas, define el tensor curvatura seccional, que es la generalización a variedades del concepto de curvatura estudiado por Gauss. Este instrumento permite "medir la curvatura" de una variedad.

El modelo del Universo

En la segunda parte de la conferencia, Riemann se pregunta por el modelo que debe de seguir el espacio físico, el espacio en el que nos movemos, cuál es su dimensión, cuál es su geometría.

Las ideas de Riemann, decididamente muy avanzadas para su época, cuajaron definitivamente cuando Einstein y Poincaré, al mismo tiempo pero de manera independiente, las aplicaron al espacio físico para crear la Teoría de la Relatividad.

El nuevo modo de Riemann de estudiar la Geometría considera que cualquier modelo de espacio (ya sea el plano, el espacio tridimensional, o cualquiera otro) puede ser estudiado como una variedad diferenciable, y que al introducir en ella una métrica se está determinando la geometría que gobierna ese objeto. Por ejemplo, el plano no es, por sí solo, euclidiano ni no euclidiano, sino que introduciendo la métrica euclídea es cuando en el plano verifica el V postulado de Euclides. Si en lugar de considerar esa métrica se introduce en el plano otra métrica, como la de Lobatchevsky, deja de verificarse el mismo postulado. La propiedad de las geodésicas de minimizar la longitud entre dos de sus puntos sin salirse de la variedad recuerda mucho a la definición de las rectas como aquellas líneas que determinan la menor distancia entre dos puntos. Se considera que las geodésicas son a las variedades riemannianas lo que las rectas al espacio euclidiano, es decir, las geodésicas son como las rectas de las variedades.

Esta nueva visión permite estudiar todas las nuevas geometrías no euclídeas, así como la geometría euclidiana bajo la misma óptica de la nueva Geometría de Riemann.

Cuando las ideas de Riemann consiguen extenderse, la Geometría pasa ya definitivamente a ser el estudio de las variedades, dejando de ser definitivamente el estudio de triángulos, circunferencias, polígonos, etc.

Los puntos básicos de la conferencia de Riemann son, por un lado, la posibilidad de aumentar indefinidamente el número de dimensiones del espacio (el Álgebra y el Análisis están ya creando la maquinaria necesaria para poder operar en dimensión finita arbitraria, con lo que definitivamente se podrá estudiar Geometría más allá de su visualización gráfica), es decir, de estudiar espacios de 3, 4, 5...dimensiones, y por otro lado dotar a los geómetras de un instrumento, el tensor curvatura, que les permite estudiar las propiedades intrínsecas de esos nuevos objetos, esos nuevos espacios, las variedades.

Klein

Felix Klein.

Felix Klein es la otra gran pieza clave de la Geometría en el siglo XIX. En 1871 descubrió que la geometría euclidiana y las no euclidianas pueden considerarse como casos particulares de la geometría de una superficie proyectiva con una sección cónica adjunta. Esto implicaba dos cosas: la primera es que la geometría euclidiana y las no euclidianas podían considerarse como casos particulares de la geometría proyectiva (o mejor dicho, de la geometría de una superficie en un espacio proyectivo). La segunda, que la geometría euclidiana es consistente (es decir, no puede llevar a contradicciones) si y solo si lo son las geometrías no euclidianas.

Con esto se da fin a la controversia de si las geometrías no euclidianas tienen sentido o no, aunque el asunto coleará aun unos años ante el escepticismo de quienes considerarán erróneo el argumento de Klein.

Pero la aportación más importante de Klein a la Geometría es su famoso Programa de Erlangen, donde da una nueva definición de Geometría.

El Programa de Erlangen

Con motivo de su ingreso como profesor en la Facultad de Filosofía y al Senado de la Universidad de Erlangen, Klein escribió una memoria en 1872 (que por cierto no llegó a leer en público) que puede considerarse, junto a la Conferencia de Riemann y a los Elementos de Euclides, como los puntos esenciales del estudio de la Geometría.

La idea de la memoria, conocida como el Programa de Erlangen, es bastante sencilla. Se trata de dar una definición formal de lo que es una geometría, más allá de la idea más o menos intuitiva que tenemos de ella.

Ante la aparición de las nuevas geometrías no euclidianas, parece lógico preguntarse qué es la Geometría, máxime cuando la propia idea de la geometría euclidiana se había visto modificada desde la irrupción de los métodos algebraicos y analíticos. Empieza a no estar tan claro que la Geometría sea el estudio de puntos, líneas (rectas o curvas) y superficies, puesto que el propio Análisis Matemático (sobre todo en el estudio de Ecuaciones Diferenciales) parece que también estudia tales objetos. Por otra parte, los métodos analíticos y algebraicos también son aplicables a las geometrías no euclidianas. Hay, digamos, dos niveles de distinciones: por un lado, la de las geometrías no euclidianas y la geometría euclidiana, por otro lado, la distinción entre el método sintético, el algebraico y el analítico.

¿Qué es entonces la Geometría?

Klein da respuesta a esta pregunta introduciendo en la Geometría un nuevo concepto de carácter algebraico: el concepto de grupo. Un grupo es un conjunto

en el que hay definida una operación, es decir, una aplicación

que a cada par de elementos del conjunto le asigna otro elemento del conjunto (que será el resultado de operar dichos dos elementos). Mientras que la mayoría de la gente está familiarizada con las operaciones numéricas, les resulta difícil imaginar que puedan operarse puntos, rectas, etc. Puede hacerse, y no hay más que pensar en, por ejemplo, la operación "tomar el punto medio", que a cada par de puntos le asigna el punto medio del segmento que une los dos primeros puntos.

Para que un conjunto en el que haya una operación sea un grupo deben de cumplirse ciertas condiciones, que son:

• La operación debe ser asociativa: esto quiere decir que si tomamos cualesquiera tres elementosdel conjunto, el resultado de operar los dos primeros (y) y operar el resultado de ello con el tercero () debe de ser lo mismo que si primero operamos el segundo y el tercero (y) y el resultado lo operamos con el primero (). Es decir, si la operación la denotamos porha de ocurrir quedebe de ser lo mismo que.

• Debe existir un elemento neutro: esto quiere decir que ha de haber un elementodel conjunto de manera que si tomo cualquier otro elementodel conjunto y lo operó con él, entonces el resultado vuelve a ser el elemento, es decir, es como si al elementono lo hubiera operado. Así, con nuestra notación,y.

• Por último, cada elemento debe tener un elemento simétrico: esto quiere decir que si yo tomo un elemento cualquieradel conjunto, entonces puedo encontrar otro elementodel conjunto de tal manera que al operar ambos, el resultado que obtengo es el elemento neutro:.

El concepto de grupo no es invención de Klein, pero es él quien descubre un hecho fundamental que lo relaciona con las distintas geometrías: cada geometría es el estudio de ciertas propiedades que no cambian cuando se le aplican un tipo de transformaciones. Esas propiedades, por no cambiar, las denomina invariantes, y las transformaciones que a un invariante no le hacen cambiar han de tener estructura de grupo bajo la operación de composición (componer dos transformaciones es hacer una de ellas y aplicarle la otra transformación al resultado de la primera). Resumiendo, Klein define soterradamente una geometría como dar el subgrupo de las biyecciones de un conjunto en sí mismo que uno admitirá como grupo principal. Los conceptos o definiciones serán los invariantes por ese grupo principal, y los teoremas serán las relaciones entre los conceptos.

Así Klein descubre que, por ejemplo, la geometría euclidiana es el estudio de los invariantes mediante el grupo de los movimientos rígidos (como las simetrías, giros y traslaciones), que la geometría afín es el estudio de los invariantes mediante el grupo de las translaciones, que la geometría proyectiva es el estudio de los invariantes mediante el grupo de las proyectividades, e incluso que la Topología es el estudio de los invariantes mediante el grupo de las funciones continuas y de inversa continua, entre otras.

De hecho, Klein afirma que la comprensión de "tener una geometría, entonces hay un grupo principal" es más bien al revés. Uno a priori dice qué tipo de transformaciones admitirá (es decir, da el grupo) y todo lo demás se puede reconstruir a partir de él. Se demuestra incluso, que si uno da un subgrupo de las biyecciones de un conjunto en sí mismo isomorfo a algún grupo clásico (simetrías, translaciones, proyectividades) entonces todos los teoremas de esa geometría son válidos en este.

El descubrimiento de Klein es fundamental, ya que por un lado nos permite clasificar las geometrías, comprendiendo cuál es una "subgeometría" de cual, por otro lado nos permite comprender qué es el estudio general de la Geometría (como disciplina matemática) y por último, pero no menos importante, es la confirmación de que los métodos sintético y algebraico no dan geometrías distintas, sino que realmente estudian la misma geometría en cada caso. Se pone fin así a la distinción entre el método sintético y el algebraico-analítico. En su época supuso la consagración de la Geometría proyectiva como la Reina de las Geometrías.